Rechen-Experiment zur Uhrumstellung
Alles nur wegen einer Uhr

Prof. Harald Schmid von der Fakultät für Maschinenbau an der OTH in Amberg fand unser Gedankenexperiment so spannend, dass er die Lösung in seiner Vorlesung den Studenten vorrechnete. Wir waren mit einer Kamera dabei. Bild: Haidl

Ab Sonntag gilt wieder die Winterzeit. Der Organist der Dreifaltigkeitskirche hat dazu ein kleines Gedankenexperiment angestellt. Viele Leser sandten ihre Antworten, ein Professor rechnete die Aufgabe mit seinen Studenten. Die Lösungen sind spannend. Viel spannender als die Realität.

Was für eine Resonanz auf das Matherätsel, das die AZ vergangenes Wochenende veröffentlichte. Bis aus Hessen schrieb Christian Borck von der Deutschen Gesellschaft für Chronometrie. Monatlich versendet er einen Newsletter an 110 Turmuhren- und Glocken-Interessierte in ganz Europa und den USA. Das Rätsel "beschreibt ein Problem, an das wir Turmuhrenliebhaber fälschlicherweise gar nicht denken", sagt er. "Leicht zweifelnd, aber mit freundlichen Grüßen" schickte er seine Antwort. Aus Mannheim schrieb Anja Pavlica. Die gebürtige Weidenerin hat über das Onetz von der Aktion erfahren: "Ich lese regelmäßig Nachrichten aus der Heimat."



Für Paul Wiesner aus Theuern war die Sache klar: "Ich bin 14 Jahre alt und nicht der Meinung, dass das schwer auszurechnen ist." Jürgen Schwepper aus Vilseck hat sich über das Gehirnjogging gefreut: "Da kann man seine grauen Gehirnzellen mal anwerfen und sich über Dinge Gedanken machen, die alltäglich sind, und die, ohne dass man es bemerkt, einfach funktionieren." Nur durch ein "Sich-in-die-Uhr-reinversetzen" sei er auf eine Lösung gekommen. Auf Facebook philosophierten die Leser bereits über ein Gleichnis vom "Läufer Achill im Rennen gegen eine Schnecke". Mathematik-Experte Prof. Harald Schmid von der OTH in Amberg nahm sich des Problems höchstpersönlich an. Im Audimax in Amberg präsentiert er seine Lösungen, wir waren mit der Kamera dabei. Viele Leser antworteten, dass die Uhr 73 Minuten und 20 Sekunden braucht, um wieder die richtige Zeit anzuzeigen. Das ist zwar richtig. Doch ist ihnen ein Fehler unterlaufen, den viele aus der Schule kennen: Sie haben die Aufgabe nicht richtig gelesen. Gefragt wurde nicht: Wie lange brauchen die Zeiger, sondern wie viel Uhr ist es, wenn die Zeiger nach der Umstellung das erste Mal wieder die richtige Zeit anzeigen?

Lösung vom Professor


Die richtige Antwort: Um 3 Uhr, 13 Minuten und 20 Sekunden steht die Uhr wieder richtig. Elf Antworten gingen ein. Manche mit seitenlangen Lösungswegen. Drei sendeten die richtige Lösung: René Rausch aus Leinburg-Weißenbrunn (Nürnberger Land), Sophie Spies aus Amberg und der Stammtisch der Kulturfreunde Freudenberg. Doch was passiert eigentlich wirklich um 2 Uhr morgens am Sonntag an der Turmuhr von Dreifaltigkeit? Die Lösung ist banal. "Die Zeigen bleiben um 2 Uhr einfach eine Stunde lang stehen", meldet die Turmuhrenfabrik Rauscher in Regensburg, die die Uhr wartet.
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Die Live-Vorlesung im Audimax der OTH in Amberg sehen Sie hier.



DankeschönDiese Leser haben mitgetüftelt und ihre Lösungswege eingesendet: René Rausch (Nürnberger Land), Anja Pavlica (Mannheim), Sophie Spies (Amberg), Stefanie und Uwe Richter (Paulsdorf), Paul Wiesner (Theuern), Hermann Meier (Amberg), Christian Borck (Süd-Hessen), Hermann Lürwer, Franz Wieder (Aschach), Andreas Schwepper (Vilseck) und der Stammtisch der Kulturfreunde Freudenberg. (blu)


Des Rätsels Lösung

Über Minutenzeiger und Schildkröten










Dass die Kirche von Hl. Dreifaltigkeit mit einem Reptil zu tun hat, ist überraschend. Prof. Dr. Harald Schmid, Professor für Angewandte Mathematik und Ingenieurinformatik, hat sich unseres Gedankenexperiments angenommen und kommt auf verblüffende Lösungen. Doch hier zuerst noch einmal die Frage von vergangener Woche:

"Die Turmuhren drehen nicht rückwärts, das heißt, sie stellen sich am 30. Oktober um elf Stunden vor. Dazu muss der Minutenzeiger das Ziffernblatt im Schnelldurchgang umrunden. Für jede Minute, die die Turmuhrzeiger von Hl. Dreifaltigkeit nach vorne gehen, brauchen sie sechs Sekunden. Für elf Stunden braucht die Uhr also 66 Minuten, bis sie wieder stimmt. Ist das wirklich so? Nein, denn dann wäre es ja 2 Uhr. Nun sind aber während des Stellvorgangs noch mindestens 66 Minuten verstrichen. Wie viel Uhr ist es, wenn die Zeiger nach der Umstellung das erste Mal wieder die richtige Zeit anzeigen?"

Prof. Schmid: "Die Turmuhr muss zuerst um 11 Stunden vorgestellt werden. Dazu braucht sie 66 Minuten, und das bedeutet: Wenn die Turmuhr 2 Uhr anzeigt, dann ist die "echte Zeit" bereits 3 Uhr 6 Minuten (= 2 Uhr + 66 Minuten). Die Turmuhr muss also nochmals 66 Minuten einholen. Die Turmuhr schafft im Schnellgang eine Minute in 6 Sekunden oder 10 Minuten in 60 Sekunden. Während in der richtigen Zeit eine Minute vergeht, dreht sich die Turmuhr um 10 Minuten weiter. Die Zeiger der Turmuhr laufen also zehnmal so schnell wie im Normalbetrieb. Sind also in der richtigen Zeit T Minuten vergangen, dann hat sich die Turmuhr um 10 x T Minuten vorgestellt.

Nun vergleichen wir die Minuten, die in echter Zeit und auf der Turmuhr nach Mitternacht angezeigt werden. Auf der Turmuhr sind es 2 Stunden plus 10 mal T bzw. 120 + 10 x T Minuten, und in echter Zeit sind es 3 Stunden 6 Minuten plus T bzw. 120 + 66 + T Minuten. Beide Zeiten stimmen überein, wenn

120 + 10 x T = 120 + 66 + T

erfüllt ist. Das ist eine Gleichung mit einer noch unbekannten Anzahl T Minuten (ab 3 Uhr 6) für den Zeitpunkt, ab dem die Turmuhr wieder richtig lauft. Durch eine Umformung der Gleichung erhalten wir 10 x T = 66 + T oder 9 x T = 66 und damit T = 66/9 = 7 1/3 Minuten. Das sind umgerechnet 7 Minuten und 20 Sekunden. Ab 3:06 Uhr dauert es also nochmals 7 Minuten und 20 Sekunden, und es ist dann in Winterzeit 3 Uhr 13 Minuten und 20 Sekunden."

Es gibt noch eine weitere Lösung. Diese vergleicht Schmid mit dem "Paradoxon von Achilles und der Schildkröte": " Der Philosoph Zenon von Elea wollte belegen, dass ein schneller Läufer (Achilles) bei einem Wettrennen niemals eine Schildkröte wird einholen können, sobald sie einen Vorsprung bekommt. Bevor der Läufer die Schildkröte erreicht, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen, und in der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte schon einen neuen Vorsprung gewonnen, den der Läufer ebenfalls wieder einholen muss.

Danach hat die Schildkröte aber wieder einen kleinen Vorsprung gewonnen usw. Der Trugschluss beruht auf dem Fehler, dass eine Summe mit unendlich vielen Summanden vermeindlich auch unendlich groß sein musste. Das stimmt aber nicht, denn z. B. ist eben 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ... = 1,11111 ... = 10/9. Das Rechnen mit unendlichen Reihen (so nennt man in der Mathematik Summen mit unendlich vielen Summanden) liefert das richtige Ergebnis, wirkt aber etwas befremdlich." Den alternativen Lösungsweg gibt es im Video.
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