05.04.2020 - 18:26 Uhr
AmbergDeutschland & Welt

Warum die Kurve flacher werden muss

"Flatten the curve", zu Deutsch: Flacht die Kurve ab, heißt es in der Coronakrise überall. Ein Gespräch über die Tücken exponentiellen Wachstums mit Prof. Dr. Harald Schmid von der OTH in Amberg.

Professor Harald Schmid lehrt an der OTH in Amberg.
von Gabriele Weiß Kontakt Profil

Harald Schmid lehrt an der Fakultät für Maschinenbau und Umwelttechnik angewandte Mathematik und Ingenieurinformatik. Auch, wenn er kein Mediziner ist: Die Gesetze der Mathematik greifen ebenfalls in der Epidemiologie.

ONETZ: Was ist der Unterschied zwischen einem linearen und einem exponentiellen Anstieg, wie er etwa bei den Corona-Infektionen zu verzeichnen ist?

Harald Schmid: Betrachten wir zwei verschiedene Szenarien, einmal eines mit linearem und einmal eines mit exponentiellem Wachstum. Beide weisen einen Anstieg von jeweils 10 Prozent für verschiedene Zeiträume auf. Wir gehen nun zu Beginn der Einfachheit halber von 100 infizierten Personen aus. Beim linearen Anstieg kommen pro Tag konstant 10 Prozent der Anfangsmenge dazu, in unserem Fall also konstant 10 Personen pro Tag. Damit sind wir nach 4 Tagen bei 140 Infizierten und nach 40 Tagen bei 100 plus 10 mal 40, also insgesamt 500 Personen. Der exponentielle Anstieg unterscheidet sich nun auf einer kurzen Zeitskala tatsächlich nur sehr wenig vom linearen Wachstum. Hier kommen pro Tag jedoch circa 10 Prozent der aktuellen Menge hinzu. Am ersten Tag hat man also auch hier einen Zuwachs von 10 Personen auf 110, am Tag zwei dann einen Zuwachs um 11 Personen auf 121, am 3. Tag einen Anstieg um 12,1 Personen auf 133,1, und so weiter.

ONETZ: Das klingt erst mal nur halb so schlimm.

Harald Schmid: Ja, doch entscheidend ist: Je größer die Anzahl der Personen ist, umso mehr kommen dazu. Ist man eines Tages beispielsweise bei 500 Infizierten angekommen, dann wächst die Anzahl am nächsten Tag im linearen Fall nur um 10 auf 510 Personen, während sie exponentiell bereits um 50 - also 10 Prozent von 500 - auf 550 Personen ansteigt. Betrachtet man nun einen längeren Zeitraum, also etwa 40 Tage, dann gehen die lineare und die exponentielle Kurve sehr stark auseinander. Ist man eines Tages beispielsweise bei 5000 Infizierten angekommen, dann wächst die Anzahl am nächsten Tag im linearen Fall nur wieder um 10 auf 5010 Personen, während sie exponentiell bereits um 500 - also 10 Prozent von 5000 - auf 5500 Personen ansteigt. Um auf die 5500 Infizierten zu kommen, braucht man bei der Exponentialkurve mit 100 Personen zu Beginn und 10 Prozent Zuwachs also nur 40 Tage, während es beim linearen Anstieg bis zum Erreichen des gleichen Endwerts tatsächlich etwa eineinhalb Jahre dauert.

ONETZ: Was ist nun mit einem "Abflachen der Kurve" gemeint?

Harald Schmid: Nun, während die Kurve der Corona-Infiziertenzahlen für die USA momentan noch den typischen Verlauf einer Exponentialfunktion zeigt, geht die Italien-Kurve nach anfänglichem exponentiellen Anstieg in eine Kurve mit einem flacheren, ja fast schon linearen Anstieg über. Solche Änderungen im Verhalten einer Kurve sind dann auch aus mathematischer Sicht ein Anzeichen dafür, dass gewisse Maßnahmen wie etwa die geltenden Ausgangsbeschränkungen zu wirken beginnen.

ONETZ: Was bringen eigentlich die Vergleiche der Kurven von verschiedenen Ländern - es heißt ja oft, wir hinken zum Beispiel Italien nur 10 bis 14 Tage hinterher. Kann man das denn so sagen? Es sind zum Teil ja andere Ausgangsvoraussetzungen gegeben, wie etwa eine andere Bevölkerungsstruktur oder Art des Zusammenlebens.

Harald Schmid: Die Exponentialkurven haben für die einzelnen Länder auch typische Steigungen. In den unterschiedlichen Steigungen spiegeln sich dann auch Parameter wie Bevölkerungsstruktur, Art des Zusammenlebens und so weiter wider. Bedenkenswert ist noch ein anderer Punkt: Da die Weltbevölkerung begrenzt ist, kann es natürlich auch keinen "ungebremsten" exponentiellen Anstieg geben. Irgendwann werden die Fallzahlen auch ein Maximum erreichen. Hierbei gilt: Je flacher die Kurve trotz exponentiellen Wachstumsbeginns verläuft, umso später tritt das Maximum auf, und was noch wichtiger ist: Auch der erreichte Maximalwert verringert sich. Auf diese Weise hofft man, unter dem für das Gesundheitswesen kritischen Wert zu bleiben, an dem die Ressourcen nicht mehr zur Behandlung aller ausreichen.

ONETZ: Die Bundesregierung möchte nun die "Verdopplungszeit" der Neuinfektionen verlängern. Was ist damit gemeint?

Harald Schmid: Die "Verdoppelungszeit" ist einfach die Zeitspanne in Tagen, in der sich bei einem exponentiellen Anstieg die aktuelle Fallzahl verdoppelt. Das ist sozusagen das Gegenstück zur "Halbwertszeit", welche beispielsweise bei radioaktiven Stoffen die Zeit angibt, in der sich der Anteil des radioaktiven Materials halbiert. Ähnlich wie die Halbwertszeit kann man auch die Verdoppelungszeit berechnen. Als einfache Faustregel lässt sich aber feststellen: Je flacher der Anstieg der exponentiellen Kurve, umso größer ist die Zeit, in der sich die momentane Fallzahl verdoppelt.

ONETZ: Abgesehen von Epidemien: Welche Alltagsbeispiele gibt es für exponentielles Wachstum?

Harald Schmid: Es gibt einige Alltagsbeispiele, in denen exponentielles Wachstum auftritt: So wächst zum Beispiel das Geld auf dem Sparbuch gemäß der Zinseszinsrechnung exponentiell an. Und auch Kettenbriefe nach dem Schneeballsystem verbreiten sich exponentiell.

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